遊学館 先生ブログ

【第195回】 「得意」と「苦手」K. N. （数学）

夏休みです。受験生にとって勝負が決まる時でもある。勉強しましょう。

この間、その受験生と話をしていて、ふと、数学の確率にまつわる話を思い出した。

例えば、
「英語は得意だけど、数学は苦手」
という生徒がいて、彼（または彼女）は
「僕は（私は）文系だから」
と言ったりするのだけど、話をしていると、言うほど「文系」ではなかったりする。
もうちょっと勉強すれば、数学ができるようになりそうに思える。

では、その「得意」と「苦手」の違いは、どこから生じるのだろうか。
一応（？）、数学の教師なので、確率論を使って考えてみた。

袋に白と黒のボールを入れて、（袋の中を見ずに）ボールを一つ取り出し、色を確認したら元に戻す、という（どこかで見たような）「ゲーム」を考える。

最初、袋の中には白のボールと黒のボールを１つずつ入れておく。

袋からボールを取り出したとき、白のボールと黒のボールの出る確率はともに 1/2 だ。
そのまま元に戻してしまえば、何も変わらず、白黒の確率は 1/2 のままだ。

そこで、袋からボールを取り出したとき、
その色が白だったら、白のボールを１個増やして袋に戻す。
黒だったら、黒のボールを１個増やして袋に戻す、
ことにしよう。

この操作を何回もくり返すと、袋の中の白黒のボールの出る確率はどうなるだろう。

確率論の難しい計算をすると、白黒の出る確率は、一定値に近づくことが知られている。
ちょっとややこしいけれども、その「一定値」は、試行の度に違う値になる。白黒の確率が１／２に近付くこともあれば、白の確率が１／３に近付くこともある、ということだ。

平たく言えば・・・

本屋に行くか、飲み屋に行くかを最初のうちランダムに決めていても、そのうち、どっちに行くか偏ってきて、気が付いたら「飲み屋ばっかり」になってしまう人、逆に「本屋ばっかり」になる人、のように、人によって現れる結果は違うけれども、人を決めると、その人が本屋に行く確率は一定値に近付く、

ということだ。

先の「得意」と「苦手」が生じる理由を、この確率現象に当てはめると、先の受験生は
たまたま何らかの理由で「英語を得意」だと思い始めた結果、英語の勉強をする機会が増えて、英語が得意になっただけ
なんじゃないだろうか。

上の「ゲーム」で言えば、たまたま、最初に「白（英語）」がたくさん出た結果、「白（英語）」の出る確率（「得意」だと思う場面）が増えて、白の確率が大きくなっているだけ、なのではないだろうか。

「そうだ」と言い張る気はない。
そうではなくて、そういう単純な理由であるなら、意識的に「黒（数学）」の出る確率を増やしてやれば、数学もできるようになるんじゃないだろうか。

教師としてできることは、そんなに多くないかもしれない。でも、

確かに、袋の中には白のボールが、かなり多くなっているけれども、
意識的に黒のボールが増えるようにしてやれば、黒の確率を増やせるのではないか

そう思って、生徒が数学と接する機会を増やすために、数学のプリントを「たくさん」作ろうと思う。

【第161回】リンゴの皮むきK. N. （数学）

そろそろ、リンゴの美味しい季節になった。
このあいだ、無性にリンゴが食べたくなって、一袋買ってきた。
食べようと皮をむいていて、ふと思った。
皮の切れ端は、どうしても「平ら」にできない。
皮の切れ端を、まな板の上で平らに置こうとしても、どうしても「ブカブカ」する。
そのとき学生時代に勉強したことを思い出した：
「球面は、点の間の距離を保ったまま、平面に写すことができない」
要するに、球面と平面はまるで違うのだ。

19世紀にガウスという数学者がこのことを証明した。
例えば、地球も球体なので、距離を保ったまま平面にすることはできない。
だから、「距離が等しい」という意味での正確な（平面）地図は存在しない…
確か、そんなことを（もちろん数式と一緒に）習った気がする。

では、リンゴの皮を途中で切らないようにむいて、
（例えばまな板の上に）置いたら、どんな曲線になるだろう。

実際にやってみた。

切り方が下手なせいで、きれいな曲線にはなっていないが、
幅が一定になるよう上手に切ると、この曲線は「クロソイド曲線」と呼ばれる曲線になる。
なお、皮がねじれているのは、球面を平面に写せないことの反映だ…
いや…腕のせいかもしれない。

ちなみに、高速道路のインターチェンジなどでよく見かける「くるくる廻る道路」も、
クロソイド曲線である。円（の一部）ではない。
円を使って道路を設計すると、急なハンドル操作を強いられ、危険が大きいが、
クロソイド曲線を使うと、運転がスムーズで、安全に走行できるそうだ。
ジェットコースターのカーブもクロソイド曲線だそうだ。
円を用いると、乗客にとって危険なことが起こることがあるらしい。

この「クロソイド曲線」を数式を使って表すと、とても複雑なものになるので、ここではしない。
でも、確かに数式で表すことができて、その性質を数式を使って調べることができる。
そう、リンゴの皮の描く曲線に数式があるのだ。

あらゆるものが数式で表されるとは思わない。
でも、リンゴの皮にすら数式があるのだから、きっと、たいていのものには数式があるに違いない。
ただ、その数式を見つけるのは難しい。
実際、リンゴの皮の描く曲線の数式を求めるのは、とても難しい。

日常生活に数式が現れてくることは少ない。
でも、数学的な現象は存在している。
意識して働きかけないと、なかなか現れてこないのが難点だが、確かにそこにある。
数学の現象は、目では見えないし、手で触ることも、耳で聞くことだって、できない。
でも、数式という表現を通して、その存在を知ることができる。

数学を学ぶということは、数式を通して、数学的な現象に対する感覚を育てることでもあるのかもしれない。
皮をむいたリンゴを食べながら、ぼぅっとそんなことを考えていた。